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 Mathématiques ____________________________________________________________________________

Ensemble de connaissances abstraites résultant de raisonnements logiques appliqués à divers objets tels que les nombres, les figures, les structures et les transformations. Les mathématiques sont aussi le domaine de recherche développant ces connaissances, ainsi que la discipline qui les enseigne. Les mathématiques sont de nature entièrement intellectuelle, étant fondées sur des axiomes déclarés vrais ou sur des postulats provisoirement admis. Un énoncé mathématique, dénommé généralement théorème ou lemme, est considéré comme valide lorsque le discours formel qui établit sa vérité respecte une certaine structure rationnelle appelée démonstration, ou raisonnement logico-déductif. Bien que les résultats mathématiques soient des vérités purement formelles, ils trouvent cependant des applications dans les autres sciences et dans différents domaines. Le mot mathématique vient du grec. Le mot máthema signifie « science, connaissance » puis « mathématiques » ; il a donné naissance à l'adjectif mathematikos, d'abord « relatif au savoir » puis « qui concerne les sciences mathématiques ». Cet adjectif a été adopté en latin (mathematicus). Dans l'argot scolaire, le terme « mathématiques » est fréquemment apocopé en « maths ». On fait parfois la distinction entre mathématiques pures et mathématiques appliquées :

  • Les mathématiques pures ou fondamentales ont pour objectif le développement des connaissances mathématiques pour elles-mêmes sans aucun intérêt pour les applications pratiques. À partir du XVIIIe siècle, les mathématiques pures deviennent une branche reconnue de l'activité mathématiques, parfois dites « mathématiques spéculatives ». Les mathématiques pures reposent sur le fait que l'on peut se baser sur une définition mathématique quelconque, c'est-à-dire qu'il est possible de raisonner sur un ensemble d'axiomes et sur un système logique de notre convenance. Cela dit, il n'est pas rare que des théories développées sans avoir pour objectif une utilité pratique, soient réutilisées plusieurs années plus tard pour certaines applications, après avoir découvert le lien avec celles-ci. Ainsi dans le cas des mathématiques pures, la recherche mathématique tend à une meilleure compréhension d'une série d'exemples particuliers abstraits sur lesquels s'appuie et se développe la réflexion mathématique. L'origine du nom est due à la chaire universitaire sadleirienne de l'université de Cambridge fondée en 1701 par Lady Mary.
  • Au contraire, les mathématiques appliquées sont la mise en œuvre des connaissances mathématiques pour les besoins d'autres sciences et pour des applications industrielles (ingénierie par exemple). Elles tendent à développer ces outils mathématiques pour répondre à ces demandes, pour résoudre des problèmes posés en termes concrets. La classification logique des mathématiques appliquées repose davantage sur la sociologie des professionnels qui se servent des mathématiques que sur la question d'en déterminer la nature exacte. Habituellement, les méthodes mathématiques sont appliquées au domaine d'un problème particulier à l'aide d'un modèle mathématique. Les mathématiques de l'ingénierie s'attachent à décrire des processus physiques, de sorte qu'elles se distinguent rarement de la physique théorique.

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Modèle mathématique prédictif et descriptif

Système formel

Recherche mathématique

Postulat

Théorème, lemme et conjecture

Fondements des mathématiques

  • Logicisme
  • Formalisme
  • Intuitionnisme

Méthode formelle

Mathématiques moderne

Liste des théories mathématiques

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Modèle mathématique

C’est la traduction d'une observation dans le but de lui appliquer les outils, les techniques et les théories mathématiques, puis, en sens inverse, la traduction des résultats mathématiques obtenus en prédictions ou opérations dans le monde réel. Le mot modélisation est aussi très utilisé dans le monde du graphisme, où l'on modélise des objets en 3D ou en 2D. Un modèle se rapporte toujours à ce qu’on espère en déduire. Un même objet, par exemple une souris, ne sera pas modélisé de la même façon selon que l'on s'intéresse à

  • ses performances intellectuelles ;
  • ses maladies et leurs soins, voire ceux d'un groupe d'animaux (tous les mammifères) ;
  • la façon de la dessiner de façon convaincante dans le cadre d'un jeu vidéo.

De même, un modèle n'est jamais parfait, ni totalement représentatif de la réalité : le choix des paramètres et des relations qui les lient éclaire la finalité. Au sein d’un même modèle, le choix des valeurs des paramètres peut permettre d’appréhender divers aspects, ou encore des réalités différentes. La modélisation peut s'exercer :

  • du modèle vers le réel : ces modèles mathématiques sont utilisés pour anticiper des événements ou des situations, comme prévoir le temps avec la météo, estimer les prix potentiels des actifs financiers avec les modèles d'évaluation en finance, ou prévenir les épidémies. On parle de modèles prédictifs, dans lesquels des variables connues, dites « explicatives », vont être utilisées pour déterminer des variables inconnues, dites « à expliquer ».
  • du réel vers le modèle : les modèles servent à représenter des données historiques. On parle de modèles descriptifs. L'objectif est de rendre compte, de manière interprétable, d'une masse d'informations. L'archétype de ces modèles est la comptabilité : elle décrit de manière simplifiée les événements économiques réels en leur affectant un compte, c'est-à-dire une « étiquette » censée les caractériser. Ces comptes sont ensuite agrégés pour présenter la situation économique des entreprises et des pays.

Les deux types de modèles sont parfaitement liés : une bonne prédiction suppose au moins la prédiction de la situation passée et actuelle, c’est-à-dire une bonne description et inversement. Un même modèle mathématique peut se trouver applicable à de nombreuses situations, n'ayant pas forcément un rapport évident. Selon l’efficacité opératoire, Georges Matheron distingue :

  • le modèle panscopique, c'est-à-dire qu'il propose une efficacité opératoire pour tous les objectifs envisageables. Tout énoncé objectif doit y être réfutable.
  • le modèle polyscopique voire monoscopique, en ce que son efficacité opératoire se résume à un seul objectif.

Un modèle panscopique recherchera un degré de spécification fort ; à l'inverse, un modèle monoscopique cherchera les hypothèses anticipatrices les plus faibles, et donc un faible degré de spécification. On parlera de seuil de robustesse et de réalisme pour qualifier les limites à l'intérieur desquelles le modèle est en adéquation raisonnable avec la réalité, ou encore de seuil d'objectivité (déduction empiriquement vide) lorsque le modèle ne peut plus fournir d'énoncé pertinent.

 

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Système formel

Modélisation mathématique d'un langage spécialisé qui en représente les éléments, termes, formules, dérivations, ..., par des objets finis (entiers, suites, arbres, graphes finis...). Le propre d'un système formel est que l'on peut vérifier algorithmiquement la correction (au sens grammatical) de ses éléments, c'est-à-dire que ceux-ci forment un ensemble récursif (calcul par procédure mécanique). Le langage de programmation informatique est un système formel. Les systèmes formels s'opposent aux langues naturelles pour lesquels les algorithmes de traitement sont extrêmement complexes et surtout doivent évoluer dans le temps pour s'adapter aux transformations du langage. Les systèmes formels sont apparus en logique mathématique afin de représenter mathématiquement le langage et le raisonnement mathématique. Les systèmes logiques visant à modéliser le langage mathématique résolvent trois problèmes :

  • Comment formalise-t-on les énoncés mathématiques (théorèmes, lemmes, définitions, etc.), c'est-à-dire comment définit-on la notion de formule ?
  • Réciproquement, comment interprète-t-on les objets formels que sont les formules de façon à les voir comme des énoncés mathématiques signifiants ?
  • Comment prouve-t-on des formules, c'est-à-dire comment formalise-t-on les règles du raisonnement mathématique ?

Les systèmes formels ont permis l'émergence d'une épistémologie des mathématiques appelée point de vue formaliste au terme de laquelle les mathématiques apparaissent comme un jeu de manipulation de symboles suivant des règles rigoureuses ; le sens des formules est reconstruit par les interactions qu'elles entretiennent les unes avec les autres au travers des règles de raisonnement.

 

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Recherche mathématique

La recherche mathématique ne se limite pas qu'à la démonstration des théorèmes. L'une des méthodes les plus fructueuses en recherche mathématique est la mise en rapprochement de domaines éloignés en mettant en lumière des phénomènes analogues qui peut conduire à vouloir adapter des résultats d'un domaine des mathématiques à un autre, à reformuler des éléments de démonstration en termes équivalents, à tenter une axiomatisation d'un objet qui regrouperait les deux domaines… Une autre méthode de recherche est la confrontation aux exemples et aux cas particuliers. Cette confrontation peut permettre de réfuter des conjectures. Au contraire, elle peut permettre de vérifier des propriétés ou d'amener à les formaliser.

 

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Postulat

Principe non démontré utilisé dans la construction d'une théorie mathématique. Le postulat est ce que le mathématicien demande qu'on lui accorde et qui sert de fondement au reste de son exposé ; il n'est cependant pas par définition interdit de le démontrer plus tard. En ce sens, le postulat se distingue de l'axiome, ce dernier étant toujours posé au départ comme un élément fondamental du système qu'on ne cherchera pas à démontrer. On peut donc utiliser un postulat avec l'assentiment de l'auditeur, qui le prend comme un principe non démontré mais légitime, car semblant intuitivement non contestable (ou parce que prouvé ultérieurement par des démonstrations). La plupart des postulats sont jugés comme des marques de bon sens, des appuis sur l'expérience.

 

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Théorème, lemme et conjecture

Proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion (proposition mathématique vraie au sein d’une théorie) qui peut être établie comme vraie au travers d'un raisonnement logique construit à partir d'axiomes. Un théorème est à distinguer d'une théorie. Une fois le théorème démontré, il est considéré comme vrai quelle que soit la valeur de vérité de sa prémisse (hypothèse de base). Un théorème a généralement :

  • des hypothèses de base, des conditions qui peuvent être énumérées dans le théorème ou décrites d'avance,
  • une conclusion, une affirmation mathématique qui est vraie sous les conditions de base.

La démonstration n'est pas considérée comme faisant partie du théorème. Elle comprend :

  • des axiomes ;
  • les hypothèses du théorème ;
  • d'autres théorèmes déjà démontrés.

Chaque étape de la preuve est liée aux précédentes par des règles d'inférence logiques. Au sens large toute assertion effectivement démontrée peut prendre le nom de théorème. Dans les ouvrages de mathématiques, il est cependant d'usage de réserver ce terme aux affirmations considérées comme nouvelles ou particulièrement intéressantes ou importantes. Selon leur importance, ou leur utilité, les autres assertions peuvent prendre des noms différents :

  • Lemme : assertion servant d'intermédiaire pour démontrer un théorème plus important ;
  • Conjecture : assertion pour laquelle on ne connaît pas encore de démonstration, mais que l'on soupçonne d'être vraie, en l'absence de contre-exemple. Afin de simplifier le travail de vérification, il est classique de formuler des variantes d'une conjecture, soit sous une forme plus faible (plus facile à démontrer), soit sous une forme plus forte (plus facile à réfuter). En attendant, la conjecture peut être choisie comme hypothèse ou postulat pour étudier d'autres énoncés. Dans la vie de tous les jours, une conjecture est une hypothèse qui n'a encore reçu aucune confirmation. Une fois prouvée, une conjecture devient un théorème et rejoint le royaume des faits mathématiques. Toutes les conjectures ne finissent pas par être établies comme vraies ou fausses.

Comme énoncé ci-dessus, un théorème exige un raisonnement logique basé sur des axiomes. Cela consiste en une série d'axiomes fondamentaux et un procédé d'inférence qui permet de dériver les axiomes en de nouveaux théorèmes. Dans la logique des propositions, n'importe quelle affirmation démontrée est appelée un théorème.

 

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Fondements des mathématiques

La fondation ou les fondements des mathématiques sont les principes sur lesquels est établie cette science.

  • Logicisme : théorie selon laquelle les mathématiques sont une extension de la logique et donc que tous les concepts et théories mathématiques sont réductibles à la logique. Ce programme soutient le positivisme logique en particulier, et le réductionnisme en général. Louis Couturat, Bertrand Russell et Alfred North Whitehead ont soutenu cette théorie créée par Gottlob Frege. Gottlob Frege abandonna le projet après que Russell ait découvert un paradoxe mis en lumière par une contradiction dans la théorie naïve des ensembles. Russell et Whitehead continuèrent le projet dans leur ouvrage Principia Mathematica. Bien que l'ambition de ce projet réductionniste ait ainsi dû être revue à la baisse, la majeure partie des mathématiques modernes continue aujourd'hui à être pensée par de nombreux mathématiciens et logiciens comme étant réductible à une logique qui se baserait sur l'axiome de la théorie de Zermelo-Fraenkel. Il y a ainsi un néo-logicisme, qui se fonde en particulier sur le dit « principe de Hume ». La mathématique pure présente deux caractéristiques : la généralité de son discours et la déductibilité du discours mathématique, les inférences qui structurent le discours mathématique sont des implications formelles. En ce que le discours mathématique ne prétend qu’à une vérité formelle, il est possible de réduire les mathématiques à la logique, les lois logiques étant les lois du « vrai ».
  • Formalisme : système formel représentée par un système déductif ou calculatoire. Un formalisme a pour objectif de représenter de manière non-ambiguë un objet d'étude en science. Le formalisme, soutenu par David Hilbert, les mathématiques se présentent comme une pure construction de l’esprit. La tâche des mathématiciens est de déduire des théorèmes à partir d’axiomes qui ne sont ni vrais ni faux. La validité ne repose plus que sur la structure des énoncés, et non sur la nature de ce dont ils parlent. La vérité des mathématiques est réduite à leur cohérence interne, la non contradiction des propositions. Le débat sur cette conception formaliste a été relancé par le théorème d'incomplétude de Gödel qui affirme que tout système formel cohérent et récursif contenant l'arithmétique, possède une proposition qui n’est ni démontrable, ni réfutable ; de plus, cette proposition est cependant « vraie » au sens intuitif du terme : elle formalise en effet l'affirmation selon laquelle la théorie est cohérente, ce qu'on a supposé dés le départ. L'école formaliste voit les mathématiques comme le résultat de définitions et d'axiomes qui permettent de les construire de façon quasi-mécanique.
  • Intuitionnisme : défendu de manière paradigmatique par Brouwer, les mathématiques ont un fondement intuitif. Sans l’intuition, la logique s’avère stérile. L'intuitionnisme est une philosophie des mathématiques que L. E. J. Brouwer a élaborée au début du XXe siècle. Pour Brouwer, les mathématiques sont une libre création de l'esprit humain. L'intuitionnisme a pour conséquence une profonde remise en cause des mathématiques ; l'intuitionnisme n'accepte pas le raisonnement par l'absurde (prouver l’absurdité d’une proposition contraire) ou le tiers exclu comme des principes universellement valides. La logique intuitionniste, développée par Arend Heyting, élève de Brouwer, formalise les principes logiques sur lesquels s'appuie l'intuitionnisme. L'intuitionnisme est souvent considéré comme une forme de constructivisme, mais il s'en écarte quand, comme c'est le cas pour l'intuitionnisme originel de Brouwer, il conduit à des énoncés mathématiques valides qui ne le sont pas classiquement. La logique intuitionniste ne permet, elle, de démontrer que des énoncés valides en logique classique.

 

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Méthode formelle

Il ne faut pas confondre formalisme, et méthode formelle. Définir une théorie formelle, c'est :

  • se donner des symboles (a, b, c, =, +, <, etc.) ;
  • se donner une syntaxe pour construire des « phrases ». Par exemple on peut écrire a=b mais pas a b = ;
  • se donner une méthode pour déduire des phrases à partir d'autres phrases. Par exemple, si on a a=b et b=c alors on a aussi la « phrase » a=c.

Définir une théorie de façon formelle est essentiel pour en donner des propriétés : cohérence ou incohérence, complétude ou incomplétude etc. Tant qu’on n'a pas formalisé une théorie, on ne sait pas exactement si une formule appartient ou non à la théorie. C'est probablement dans cette catégorie que l'on doit classer les mathématiques à rebours d'Harvey Friedman.

 

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Mathématiques moderne

En pleine guerre froide, le lancement de Spoutnik 1 par les Soviétiques provoqua un véritable traumatisme aux États-Unis, où il fut comparé par plusieurs journaux à une forme de Pearl Harbor technologique. Afin d'améliorer à grande échelle les compétences scientifiques de la population et de rattraper les ingénieurs soviétiques, réputés très bons mathématiciens, un ensemble de réformes de l'école américaine, portant sur le niveau primaire (« grade school »), fut décidé. On l'appela les New Math (littéralement les « mathématiques nouvelles »), que l'on traduira par « mathématiques modernes » dans le monde francophone. Dès le début des années 1960, cette nouvelle méthode de formation fut aussi adoptée par de nombreux pays d'Europe de l'Ouest (Royaume-Uni, France, Allemagne de l'Ouest…) avec des ajustements et spécificités propres à chaque pays. Les mathématiques modernes sont apparues en France dans un contexte différent des États-Unis, moins marqué par la guerre froide. Leur genèse a été beaucoup influencée par le bourbakisme en mathématiques et, dans une moindre mesure, par le structuralisme en sciences humaines et la pédopsychologie par Piaget. Dans les années 1950 et 1960, la recherche en mathématiques en France était fortement inspirée, par l'école Bourbaki, qui venait de publier de nombreux tomes du traité « Éléments de mathématique ». L'objectif ambitieux de ce travail était de reformuler entièrement les mathématiques en se fondant notamment sur la notion de structure. Beaucoup de gens dénonçaient l'écart grandissant qui se creusait entre les mathématiques enseignées à l'école et les mathématiques pratiquées par les chercheurs. De là naquit une dynamique visant à moderniser l'enseignement des mathématiques. Il est important aussi de noter que les mathématiques modernes sont apparues en France dans un contexte institutionnel et sociétal bien particulier. Le contexte institutionnel, tout d'abord, se caractérisait par la massification de l'enseignement. L'école obligatoire à 16 ans fut mise en œuvre graduellement par les réformes Berthoin en 1959 et Fouchet en 1963. Le collège unique fut instauré par la loi Haby en 1975. Quant au contexte sociétal, il fut très marqué par les événements de mai 1968, qui arrivèrent peu après le début de la mise en œuvre de cette réforme. En France, la « réforme des maths modernes » fut lancée sous l'impulsion de la Commission ministérielle d’étude pour l’enseignement des mathématiques, présidée par André Lichnerowicz, et communément appelée « Commission Lichnerowicz ». Cette commission débuta ses travaux en janvier 1967 et demeura active jusqu'en 1973. Elle comportait plusieurs membres du groupe Bourbaki, dont le rayonnement fut international. L'objectif de cette réforme était de moderniser l'enseignement des mathématiques à l'école primaire, au collège et au lycée, en insistant sur les structures mathématiques. Elle s'appuyait notamment sur la théorie naïve des ensembles, souvent appelée abusivement « théorie des ensembles » par les profanes. Les mathématiques modernes ont durablement influencé l'enseignement des mathématiques dans le monde occidental. Leurs excès ont été corrigés, l'algèbre est mieux enseignée aujourd'hui que dans les années 1950.

 

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Liste des théories mathématiques

  • Théorie du zéro et de l'infini

 

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